Problem- 01] প্ৰমাণ কর, √2 একটি অমুলদ সংখ্যা।[N.U. BBA (Hon’s) -2006, 2008, 2012, 2014 (Old), 2016 (Ace); 2015 (Finance); 2015, 2017 (Mgt); D. U. 2017 (Acc)] অথবা, প্রমাণ কর যে- √2 একটি অযৌক্তিক সংখ্যা । Or, Prove that V2 is an irrational number.

√2 একটি অমুলদ সংখ্যা

Solution : 1 কে বর্গ করলে 1, 2 কে বর্গ করলে 4 এবং √2 কে বর্গ করলে 2 পাওয়া যায়। সুতরাং √2, 1 থেকে বড় কিন্তু 2
থেকে ছোট ।
অতএব √2 পূর্ণসংখ্যা নয়।

যদি √2 মূলদ সংখ্যা হয় তবে-
√2 =p/q যেখানে p ও q উভয়ই স্বাভাবিক সংখ্যা, q> 1 এবং p ও q সহমৌলিক সংখ্যা ।

⇒ 2=p2/q2 (বর্গ করে) ।

⇒2q=p2/q

ইহা হতে পরিষ্কার যে, 2q পূর্ণ সংখ্যা ।
অপরপক্ষে p এবং q এর মধ্যে কোন সাধারণ উৎপাদক নেই ।
যেহেতু p ও q এর মধ্যে কোন সাধারণ উৎপাদক নেই, সুতরাং p2/q পূর্ণসংখ্যা নয় ।

p2/q, 2q এর সমান হতে পারে না।

√2 এর মান p/q আকারের কোন সংখ্যাই হতে পারে না ।

সুতারাং √2 অমূলদ সংখ্যা।